расчет вероятности выхода из строя деталей

При использовании правила умножения вероятностей событий очень часто приходится сталкиваться с вопросом о независимости событий. Так события А и В будут независимыми, если наступление (или не наступление) одного из них не изменяет вероятность другого, т.е. под независимыми мы понимаем такие события, при которых вероятность наступления одного события не изменяет вероятно­сти появления другого события. Вероятность совместного наступления, например, двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло, т. е. P(AB) = P(A)P(B/A=P(B)P(A/B) . Вероятность наступления одного события А , которое происходит совместно с одним и только с одним из полной группы n событий, с учетом правил сложения и умножения вероятностей может быть выражена формулой полной вероятности . Если данная операция допускает результаты A 1 ; A 2 ; . . . A n , образующие полную систему событий (т. е. любые два из этих со­бытий друг с другом несовместимы, и какое-нибудь из них обязатель­но должно наступить), то для любого возможного результата этой операции имеет место соотношение: P(K)=P(A 1 )P A1 (K)+P(A 2 )P A2 (K)+ . . . + P ( A n ) P An ( K ). Поясним изложенное на нескольких примерах. Пример 1.21. Определить, во сколько раз изменится общая надеж­ность блока, состоящего из n деталей, если надежность отдельной де­тали изменится по сравнению с ранее выбранной на k %. Решение. Отношение для случая k<1 Пример 1.22 . Партия в n сменных блочных комплектов имеет четыре категории. Первая ка­тегория составляет 50, вторая 30, третья 15 и четвертая 5% общего количества. Вероятность того, что блочные комплекты различных категорий будут иметь заданный срок службы, определяется как P 1 = 0.8, P 2 = 0.6, P 0 = 0.4 , P 4 = 0.2. Найти безусловную вероятность того, что выбранный наугад блочный комплект будет иметь заданный срок службы. Решение. Используется полная система событий. В соответ­ствии с принятыми ранее обозначениями имеем: тогда Пример 1.23 . Определить эксплуатационную целесообразность при­менения набора из разного числа деталей в зависимости от вероят­ности выхода из строя каждой детали. Решение. Эксплуатационная целесообразность определяется надежностью набора: Допустимая вероятность выхода из строя детали Учитывая, что P 1 <<1 , формулы могут быть упрощены: откуда Вероятность выхода набора из строя уменьшается обратно про­порционально числу деталей, составляющих набор. Полученный ре­зультат может быть распространен на дублирующие цепи. Пример 1.24. Сколько необходимо радиолокационных станций при их последовательном расположении (рис. 1.1) для того, чтобы просматривать объекты на протяжении L км при дальности действия радиолокационной станции кругового обзора D . Предполагается, что вероятность просмотра пропорциональна D . Р и с. 1.1 Решение. Считаем, что зоны станций перекрывают друг друга. Тогда число радиолокационных станций (с запасом на пе­рекрытие зон). Вероятность просмотра определяется как Задаемся величиной тогда вероятность просмотра В общем случае так как P0<1, то Pобщ<P0. Пример 1.25 . Система расположения радиолокационных станций для обнаружения объектов на протяжении L км предполагает дубли­рование. Какое число дублеров необходимо иметь исходя из того, что вероятность просмотра пропорциональна дальности действия ра­диолокационной станции? Решение. Задача относится к случаю независимых событий. Вероятность просмотра

1.5. Правило умножения вероятностей

Самарский государственный технический университет | кафедра "Радиотехнические устройства"